说到log损失，情不自禁地让我想到了逻辑回归的推导。

有些人可能觉得逻辑回归的损失函数就是平方损失，其实并不是。平方损失函数是线性回归在假设样本是高斯分布的条件下推导得到的（为什么假设成高斯分布呢？其实这里隐藏了一个小知识点，就是中心极限定理，可以参考【Central limit theorem】，而逻辑回归得到的并不是平方损失。在逻辑回归的推导中，它假设样本服从伯努利分布（0-1分布），然后求得满足该分布的似然函数，接着取对数等等。逻辑回归并没有极大化似然函数求极值，而是把极大化当做是一种思想，进而推导出它的经验风险函数为：最小化负的似然函数（即max F(y, f(x)) ---> min -F(y, f(x)))。从损失函数的视角来看，它就成了log损失函数了。

log损失函数的标准形式：

刚刚说到，对数是用来做极大似然估计的，图的是计算方便，因为在MLE中，直接求导比较困难，所以通常都是先取对数再求导找极值点。损失函数L(Y, P(Y|X))表达的是样本X在分类Y的情况下，使概率P(Y|X)达到最大值（换言之，就是利用已知的样本分布，找到最有可能导致这种分布的参数值；或者说什么样的参数才能使我们观测到目前这组数据的概率最大）。而log是单调递增函数，所以logP(Y|X)也会达到最大值，因此前面加符号之后，最大化P(Y|X)就等同于最小化L。

逻辑回归的P(Y=y|x)表达式如下（为了将类别标签y统一为1和0，下面将表达式分开表示）：

将它带入到上式，通过推导可以得到logistic的损失函数表达式，如下：

逻辑回归最后得到的目标式子如下：

值得说明的是：之所以有人认为逻辑回归是平方损失，是因为在使用梯度下降来求最优解的时候，它的迭代式子与平方损失求导后的式子非常相似，从而给人一种错觉了。

以上内容纯个人理解，如有纰漏，还望大家指正！